Algèbre linéaire Exemples

$\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x^{2}}{169}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{169}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $25$ .

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

Étape 3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 25 \cdot 1 + 25 (- \frac{x^{2}}{169})$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $25$ par $1$ .

$y^{2} = 25 + 25 (- \frac{x^{2}}{169})$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $25 (- \frac{x^{2}}{169})$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$y^{2} = 25 - 25 \frac{x^{2}}{169}$

Étape 3.2.1.3.2

Associez $- 25$ et $\frac{x^{2}}{169}$ .

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{169}$

Étape 3.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{169}$

Étape 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{169}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{169}}$ .

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Étape 5.1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - \frac{25 x^{2}}{169}}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $\frac{25 x^{2}}{169}$ comme ${(\frac{5 x}{13})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - {(\frac{5 x}{13})}^{2}}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = \frac{5 x}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

Étape 5.3

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 \cdot \frac{13}{13} + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

Étape 5.4

Associez $5$ et $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{5 \cdot 13}{13} + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 \cdot 13 + 5 x}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Étape 5.6

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot 13 + 5 x$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot 13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13) + 5 x}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Étape 5.6.2

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13) + 5 (x)}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Étape 5.6.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (13) + 5 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Étape 5.7

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (5 \cdot \frac{13}{13} - \frac{5 x}{13})}$

Étape 5.8

Associez $5$ et $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (\frac{5 \cdot 13}{13} - \frac{5 x}{13})}$

Étape 5.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 \cdot 13 - 5 x}{13}}$

Étape 5.10

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot 13 - 5 x$ .

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Étape 5.10.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot 13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13) - 5 x}{13}}$

Étape 5.10.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13) + 5 (- x)}{13}}$

Étape 5.10.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (13) + 5 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13 - x)}{13}}$

Étape 5.11

Multipliez $\frac{5 (13 + x)}{13}$ par $\frac{5 (13 - x)}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x) (5 (13 - x))}{13 \cdot 13}}$

Étape 5.12

Multipliez.

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Étape 5.12.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{13 \cdot 13}}$

Étape 5.12.2

Multipliez $13$ par $13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{169}}$

Étape 5.13

Réécrivez $\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{169}$ comme ${(\frac{5}{13})}^{2} ((13 + x) (13 - x))$ .

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Étape 5.13.1

Factorisez la puissance parfaite $5^{2}$ dans $25 (13 + x) (13 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{169}}$

Étape 5.13.2

Factorisez la puissance parfaite $13^{2}$ dans $169$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{13^{2} \cdot 1}}$

Étape 5.13.3

Réorganisez la fraction $\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{13^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{13})}^{2} ((13 + x) (13 - x))}$

Étape 5.14

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{5}{13} \sqrt{(13 + x) (13 - x)}$

Étape 5.15

Associez $\frac{5}{13}$ et $\sqrt{(13 + x) (13 - x)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{(13 + x) (13 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(13 + x) (13 - x) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$13 + x = 0$

$13 - x = 0$

Étape 8.2

Définissez $13 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Définissez $13 + x$ égal à $0$ .

$13 + x = 0$

Étape 8.2.2

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 13$

Étape 8.3

Définissez $13 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.3.1

Définissez $13 - x$ égal à $0$ .

$13 - x = 0$

Étape 8.3.2

Résolvez $13 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.3.2.1

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 13$

Étape 8.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 13$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 13$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 13}{- 1}$

Étape 8.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 13}{- 1}$

Étape 8.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 13}{- 1}$

Étape 8.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.2.3.1

Divisez $- 13$ par $- 1$ .

$x = 13$

Étape 8.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(13 + x) (13 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 13, 13$

Étape 8.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 13$

$- 13 < x < 13$

$x > 13$

Étape 8.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 13$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 13$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 16$

Étape 8.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 16$ dans l’inégalité d’origine.

$(13 - 16) (13 - (- 16)) \geq 0$

Étape 8.6.1.3

Le côté gauche $- 87$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 13 < x < 13$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 13 < x < 13$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(13 + 0) (13 - (0)) \geq 0$

Étape 8.6.2.3

Le côté gauche $169$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 13$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 13$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 16$

Étape 8.6.3.2

Remplacez $x$ par $16$ dans l’inégalité d’origine.

$(13 + 16) (13 - (16)) \geq 0$

Étape 8.6.3.3

Le côté gauche $- 87$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 13$ Faux

$- 13 < x < 13$ Vrai

$x > 13$ Faux

$x < - 13$ Faux

$- 13 < x < 13$ Vrai

$x > 13$ Faux

Étape 8.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 13 \leq x \leq 13$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 13, 13]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 13 \leq x \leq 13}$

Étape 10